Brüche mit Wurzeln vereinfachen

Was macht man bei einer Wurzel im Nenner?

Mit Wurzeln im Nenner ist es in der Regel schwierig zu rechnen. Hier lernen Sie einen Kniff, wie Sie die Wurzel im Nenner loswerden: das Rationalmachen des Nenners.

Dafür erweitern Sie den Bruch.

Beispiele:

(1) $$1/sqrt(2)=1/sqrt(2)$$ $$=sqrt(2)/(sqrt(2)sqrt(2))=sqrt(2)/2approx1,4/2=0,7$$

Im Nenner steht $$sqrt(2)$$, daher erweitern Sie mit .

(2) $$5/sqrt(5)=5/sqrt(5)$$ $$=(5sqrt(5))/5$$

Erinnerungen:

Die dritte binomische Formel im Nenner anwenden

Für kniffligere Aufgaben benötigen Sie die 3. Binomische Formel:

$$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$$

Erweitern Sie so, dass im Nenner die 3. binomische Formel entsteht.

Beispiele:

(1) $$7/(3-sqrt(2))=7/(3-sqrt(2))$$ $$=(7(3+sqrt(2)))/((3-sqrt(2))(3+sqrt(2)))$$

$$=(7(3+sqrt(2)))/(3^2-sqrt(2)^2)=(7(3+sqrt(2)))/(9-2)=(7(3+sqrt(2)))/7$$

(2) $$3/(sqrt(5)+sqrt(3))=3/(sqrt(5)+sqrt(3))$$  $$=(3(sqrt(5)-sqrt(3)))/((sqrt(5)+sqrt(3))(sqrt(5)-sqrt(3)))$$

$$=(3(sqrt(5)-sqrt(3)))/(sqrt(5)^2-sqrt(3)^2)=(3(sqrt(5)-sqrt(3)))/(5-3)=(3(sqrt(5)-sqrt(3)))/2$$

(3) $$(-a)/(sqrt(3)+sqrt(a))=(-a)/(sqrt(3)+sqrt(a))$$  $$=((-a)(sqrt(3)-sqrt(a)))/((sqrt(3)+sqrt(a))(sqrt(3)-sqrt(a)))$$

$$=((-a)(sqrt(3)-sqrt(a)))/(sqrt(3)^2-sqrt(a)^2)=((-a)(sqrt(3)-sqrt(a)))/(3-a)=(-asqrt(3)+asqrt(a))/(3-a)$$

So lösen Sie Wurzelgleichungen

Mitunter ist es auch beim Auflösen von Gleichungen sinnvoll, die Wurzeln im Nenner zu eliminieren. Hierfür können Sie die Brüche erneut erweitern oder die komplette Gleichung mit einem Wurzelterm multiplizieren.

Beispiel:

$$x/sqrt(3)=4/sqrt(27) |$$

$$hArr(xsqrt(3))/sqrt(3)=(4sqrt(3))/sqrt(27)$$

$$hArrx=(4sqrt(3))/sqrt(27)$$

$$hArrx=4sqrt(3/27)=4sqrt(1/9)=41/3=4/3$$

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