Übungen zur Vierfeldertafel und zum Baumdiagramm

Ein Baumdiagramm stellt eine Methode dar, um mehrstufige Zufallsexperimente visuell zu visualisieren. Jede einzelne Stufe wird dabei gesondert behandelt, wodurch die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten übersichtlich aufeinander aufgebaut sind.

Weiterführende Informationen zum Baumdiagramm sind im gleichnamigen Fachartikel zu finden.

Ein Gegenereignis definiert das komplementäre Resultat zu einem spezifischen Ereignis. Es wird durch einen horizontalen Strich über dem Buchstaben kenntlich gemacht und umfasst sämtliche Möglichkeiten, die nicht dem gewünschten Resultat entsprechen.

Möchtest du ermitteln, wie viele Lernende deiner Stufe sich auf den Mathematiktest vorbereitet haben, solltest du zunächst die vorgegebenen Zahlen in dein Baumdiagramm einpflegen:

Abbildung 2: Baumdiagramm mit den gegebenen Werten

In dieser grafischen Darstellung repräsentiert A den Begriff "Mathe-Genie" respektive für das komplementäre Ereignis, also "kein Mathe-Genie". G steht für "gelernt" beziehungsweise für "nicht gelernt".

Wenn ein Drittel der Schülerschaft äußerst versiert in Mathematik ist, dann rechnest du. Folglich sind sieben Zehntel der Lernenden durchschnittlich gut in diesem Fach. Dies kann dann auf dem rechten Ast, der zu zeigt, eingetragen werden.

Nach demselben Prinzip berechnest du die restlichen Werte und fügst die Zahlen auf den entsprechenden Ästen ein.

Abbildung 3: Baumdiagramm mit allen Werten

Mithilfe einer Vierfeldertafel ist es möglich, die Korrelationen zwischen zwei Ereignissen und deren spezifischen Ausprägungen zu analysieren. Sie gilt als ein essenzielles Hilfsmittel im Bereich der bedingten Wahrscheinlichkeit.

Hier wird ein großer Buchstabe P verwendet, da es sich um eine bedingte Wahrscheinlichkeit handelt.

Nun übernimmst du die Wahrscheinlichkeiten, welche du mithilfe des Baumdiagramms kalkuliert hast, in die Vierfeldertafel und multiplizierst sie miteinander. Die Gesamtsumme im unteren rechten Feld muss für die angrenzende Zeile und Spalte jeweils den Wert 1 ergeben. An dieser Übereinstimmung erkennst du, dass deine Berechnung korrekt ist.

Würdest du also gern in Erfahrung bringen, wie viele der Mathematik-Experten auch gelernt haben, so liest du den Wert aus dem Feld ab, in dem A und G zusammentreffen, das sind folglich 12 %. Von den einhundert Schülern sind dies dann Schüler.

Eine relative Häufigkeit drückt aus, wie groß der Anteil der absoluten Häufigkeiten an der Gesamtanzahl der Ereignisse ist.

Die Berechnung der relativen Häufigkeit erfolgt folgendermaßen:

Die absolute Häufigkeit entspricht der Anzahl der gewünschten Geschehnisse. Sie kann maximal so hoch sein, wie die Anzahl der insgesamt vorhandenen Ereignisse.

Im Beispiel des Mathetests kannst du dann die Anzahl der Schüler ohne Weiteres ablesen.

Die stochastische Unabhängigkeit besagt, dass zwei Ereignisse losgelöst voneinander eintreten können und sich durch das Auftreten eines Ereignisses die Wahrscheinlichkeiten nicht verändern. Die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Geschehnisse werden dabei schlicht miteinander multipliziert.

Die Schnittmenge beschreibt die gemeinsame Gruppierung mehrerer Elemente.

Wenn du also das Ereignis darstellen möchtest, dass ein willkürlich ausgewählter Lernender sowohl gut in Mathe ist als auch für den Test gelernt hat, dann notierst du , also die Schnittmenge von A und G.

Neben der Schnittmenge existiert noch das Vereinigungszeichen . Es verdeutlicht die Menge von A und/oder B, was impliziert, dass neben der gemeinsamen Menge von A und B auch ausschließlich A oder B eintreten kann.

Für die Vierfeldertafel ist es jedoch nicht von Relevanz.

Noch umfangreichere Informationen zum Thema stochastische Unabhängigkeit findest du im dazu gehörigen Artikel auf StudySmarter.

Aufgabe 1

In einer Eisdiele befinden sich dreissig Gäste. Zwei Dutzend von ihnen bestellen ein Eis in der Waffel, der Rest wählt einen Eisbecher. Zehn der Eiswaffeln sind von der Sorte Erdbeere, ebenso fünf Eisbecher. Berechnen Sie die noch fehlenden Zahlen mithilfe eines Baumdiagramms.

Lösung

Zunächst tragen Sie die bereitgestellten Zahlen in ein Baumdiagramm ein. Hierbei repräsentiert W den Begriff "Waffel", als Gegenereignis für "keine Waffel". Ebenso verhält es sich mit E für "Erdbeere".

Abbildung 4: Baumdiagramm zur Aufgabe 1

Anschließend können Sie die restlichen Zahlen mühelos ermitteln.

Abbildung 5: Baumdiagramm zur Aufgabe 1

Aufgabe 2

Übertragen Sie nun die absoluten Häufigkeiten aus Aufgabe 1 in eine Vierfeldertafel.

Lösung

Aufgabe 3

Rechnen Sie die absoluten Häufigkeiten aus Aufgabe 2 in relative Häufigkeiten um und tragen Sie diese in die Vierfeldertafel ein.

Lösung

Zur Kalkulation der relativen Häufigkeiten dividieren Sie die absolute Häufigkeit durch die Anzahl der Gäste, also durch dreissig:

Vierfeldertafel - Das Wichtigste

• Vor dem Beginn mit Ihrer Vierfeldertafel sollten Sie ein Baumdiagramm skizzieren. Dadurch erhalten Sie einen Überblick über die vorhandenen Zahlen und können eventuell fehlende Werte mühelos berechnen.
• Die Vierfeldertafel setzt sich stets aus zwei Ereignissen und deren jeweiligen Gegenereignissen zusammen. Diese werden durch einen Querbalken über ihrer Bezeichnung markiert.
• Da die Wahrscheinlichkeiten in der Vierfeldertafel stets stochastisch voneinander unabhängig sind, lässt sich die Produktregel anwenden und die Wahrscheinlichkeiten können miteinander multipliziert werden.
• Stochastische Unabhängigkeit impliziert, dass zwei Geschehnisse sich gegenseitig nicht beeinträchtigen. Möchten Sie also ausdrücken, dass zwei Ereignisse simultan eintreten, verwenden Sie die Schnittmenge .
• Es besteht die Möglichkeit, sowohl mit relativen als auch mit absoluten Häufigkeiten zu rechnen. Die relative Häufigkeit gibt das Verhältnis der Häufigkeit eines Ereignisses zur Gesamtzahl an, während die absolute Häufigkeit die Anzahl des eingetretenen Ereignisses darstellt.