Zylinder Geometrie Flächen

Was ist ein Zylinder?

Ein Zylinder ist ein dreidimensionaler Körper. Er besitzt, ebenso wie andere Prismen, zwei Grundflächen und eine Mantelfläche. Bei einem Zylinder sind die Grundflächen Kreise.

Die Mantelfläche besteht aus einem Rechteck. Der Abstand zwischen den Grundflächen ist die Körperhöhe $$h_k$$.

Bild: stock.adobe.com/Willman, Dave

Grundfläche vorn und hinten

Grundfläche oben und unten

Das Netz eines Zylinders

Wenn man den Zylinder zu einem Netz aufklappt, kann man alle äußeren Flächen gut erkennen:

Du siehst die Mantelfläche und zweimal die Grundfläche. Man bezeichnet diese äußeren Flächen des Zylinders als seine Oberfläche.

Wenn du das Netz eines Zylinders zeichnest, ist es am übersichtlichsten, wenn du die Grundflächen oberhalb und unterhalb der Mantelfläche zeichnest. Alle Flächen behalten dabei ihre ursprüngliche Größe. Die Mantelfläche hat die Seitenlängen: Umfang u des Kreises sowie die Körperhöhe $$h_k$$.

Oberfläche eines Zylinders berechnen

Gegeben sei ein Zylinder mit den Längen $$r = 5,8\ cm$$, $$h_k = 5\ cm$$.

Beispiel

Um die Oberfläche zu ermitteln, gehe wie folgt vor:

1. Berechne die Grundfläche.

$$G = π r^2$$
$$G = π (5,8\ cm)^2$$
$$G approx 105,68\ cm^2$$

2. Berechne die Mantelfläche.

Sie hat die Seitenlängen: Körperhöhe des Prismas $$h_k$$ und Umfang $$u$$ des Kreises.

Umfang des Kreises:

$$u = 2 π r$$
$$u = 2 π 5,8\ cm$$
$$u = 36,44\ cm$$

Mantelfläche:

$$M = u h_k$$
$$M =36,44\ cm 5\ cm$$
$$M = 182,2\ cm^2$$

3. Berechne die Oberfläche:

Oberfläche $$= 2 $$ Grundfläche $$+$$ Mantelfläche
$$O = 2 G + M$$
$$O = 2 105,68\ cm^2 + 182,2\ cm^2$$
$$O = 211,36\ cm^2 + 182,2\ cm^2$$
$$O = 393,56\ cm^2$$

Flächeninhalt eines Kreises:

$$G = π r^2$$

Umfang eines Kreises:

$$u = 2 π r$$

oder: $$u = π d$$

weil: $$2 r = d$$

Flächeninhalt eines Rechtecks:

$$A=uh_k$$

Das Schrägbild eines Zylinders

So zeichnest du ein Schrägbild:

Liegender Zylinder

1. Grundfläche in Originalgröße zeichnen

2. Senkrecht nach hinten verlaufende Kanten (Körperhöhe $$h_k$$) in halber Länge unter 45° zeichnen

3. Die zweite Grundfläche hinzufügen.

Das Schrägbild eines Zylinders

Stehender Zylinder

1. Die Grundfläche zeichnen: den horizontalen Durchmesser $$d$$ des Kreises in Originalgröße, den vertikalen Durchmesser in halber Länge zeichnen ($$d/2$$).

2. Die Körperhöhe $$h_k$$ in Originallänge im rechten Winkel zum horizontalen Durchmesser zeichnen.

3. Die zweite Grundfläche ergänzen.

Volumen eines Zylinders berechnen

Gegeben sei ein Zylinder mit den Längen $$r = 5,8\ cm$$, $$h_k = 5\ cm$$.

Um das Volumen zu bestimmen, verfahre wie folgt:

1. Berechne die Grundfläche.

$$G = π r^2$$
$$G = π (5,8\ cm)^2$$
$$G = π 33,64\ cm^2$$
$$G = 105,68\ cm^2$$

2. Berechne das Volumen:

Volumen $$=$$ Grundfläche $$$$ Körperhöhe.

$$V = G h_k$$
$$V = 105,68\ cm^2 5\ cm$$
$$V = 528,4\ cm^3$$