Brüche vereinfachen

Brüche kürzen leicht verständlich erklärt

Betrachte an einem Beispiel, was Brüche kürzen bedeutet: Links sind 3 von 6 Segmenten blau, also des Kreises. Rechts hingegen ist lediglich 1 von 2 Abschnitten farbig, also . Dennoch ist in beiden Kreisen der identische Anteil blau markiert. 

Wenn du zu umwandelst, bezeichnest du dies als Kürzen. Hierbei ändern sich die Zahlen im Zähler und Nenner deines Bruchs, allerdings bleibt der Anteil am gesamten Kreis identisch.

Wie du beim Kürzen exakt vorgehst, erfährst du jetzt!

Kürzen von Brüchen

Du kannst einen Bruch vereinfachen, indem du Zähler und Nenner durch die identische Zahl teilst. Im Beispiel ist dies die Zahl 3. Der Wert des Bruchs ändert sich dadurch nicht. 

Bruch kürzen

Wie gehst du beim Vereinfachen von Brüchen vor? Schauen wir uns dies anhand von zwei Beispielen an.

Beispiel 1: Wie kürzt du den Bruch mit 2?

Dazu dividierst du Zähler sowie Nenner durch 2. Das bedeutet, du rechnest im Zähler 6 :2 = 3. Im Anschluss rechnest du im Nenner 8 :2 = 4.

Beispiel 2: Versuche nun einmal den Bruch mit9 zu kürzen.

Auch hier teilst du wieder Zähler und Nenner durch die Kürzungszahl 9. Du rechnest folglich imZähler 18 :2 = 9 und im Nenner 27 :9 = 3.

Kürzungszahl ermitteln

In der Regel musst du die Kürzungszahl selbst herausfinden. Häufig musst du Brüche vereinfachen, um sie für die Addition und Subtraktion auf einen Nenner zu bringen. Betrachten wir dazu ein Beispiel.

Bringe die Brüche und auf einen gemeinsamen Nenner.

Dazu analysierst du zuerst die Nenner der Brüche und überlegst, durch welche Zahl du teilen kannst, sodass beide Nenner gleich sind. Damit du Brüche vereinfachen kannst, müssen Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl teilbar sein. Beim Dividieren darf also kein Rest verbleiben.

Den Bruch kannst du beispielsweise nicht mit 4 kürzen, weil 6 nicht durch 4 teilbar ist.

Wenn du den Nenner 12 durch 3 teilst, erhältst du 4. Da die 6 ebenfalls durch 3 teilbar ist, kannst du den Bruch mit 3 kürzen.

Achtung: Du darfst Brüche niemals mit 0 kürzen!

Brüche vollständig kürzen

Wenn du Brüche komplett kürzen sollst, musst du die Brüche solange vereinfachen, bis keine weitere Vereinfachung möglich ist. Hierbei können dir der größte gemeinsame Teiler (ggT) von Zähler und Nenner oder die Primfaktorzerlegung behilflich sein.  

Kürzen von Brüchen mit dem größten gemeinsamen Teiler (ggT)

Damit ein Bruch nicht weiter verkürzt werden kann, musst du mit dem größten gemeinsamen Teiler kürzen.  Schauen wir uns dazu sogleich ein Beispiel Schritt für Schritt an. 

Kürze den Bruch vollständig.

1. Notiere dir jeweils alle Teiler von Zähler und Nenner: Auf diese Zahlen kommst du, indem du sie im Kopf, beginnend bei 1 durchgehst.

Teiler von 28: {1, 2, 4, 7, 14}

Teiler von 36: {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18}

2. Bestimme den größten gemeinsamen Teiler: Nun kannst du dir die größte Zahl heraussuchen, welche in beiden Auflistungen auftaucht. Das ist die Zahl 4. Sie ist somit der größte gemeinsame Teiler von 28 und 36. Du kürzt den Bruch folglich mit 4.

Kürzen von Brüchen mit der Primfaktorzerlegung

Eine weitere Möglichkeit, große Brüche vollständig zu vereinfachen, ist die Primfaktorzerlegung. Betrachten wir direkt anhand eines Beispiels, wie du dabei vorgehst.

Kürze den Bruch so weit wie möglich.

1. Zerlege den Zähler in Primfaktoren: Gemäß den Teilbarkeitsregeln ist eine Zahl durch 2 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer gerade ist (0, 2, 4, 6, 8). Du kannst die 8 also durch 2 teilen und erhältst die Multiplikation 2 mal 4. Die 4 kannst du nun ebenfalls nochmals zerlegen in . 

8 = 2 ⋅ 4

         = 2 ⋅ 2 ⋅ 2

2. Zerlege den Nenner in Primfaktoren: Die Zahl 18 kannst du auch mit 2 kürzen, woraus 2 mal 9 resultiert. 2 kann nicht weiter gekürzt werden. Die 9 kannst du mit 3 kürzen und erhältst die Multiplikation 3 mal 3.

18 = 2 ⋅ 9

            = 2 ⋅ 3 ⋅ 3

3. Streiche alle Zahlen, die im Zähler und im Nenner vorkommen: Die 2 steht hier oben und unten.

Achtung: Du kannst Brüche nur beim Multiplizieren kürzen. In Summen darfst du nichts wegstreichen, da sich sonst das Ergebnis verändern würde.

Brüche kürzen — häufigste Fragen

• Wie kann man Brüche kürzen?
  Um Brüche zu vereinfachen, teilst du Zähler und Nenner durch den größten gemeinsamen Teiler (Kürzungszahl). Der Teiler ist die größte Zahl, durch die sich beide Zahlen teilen lassen, ohne eine Kommazahl zu erhalten. Bei dem Bruch 12/18 wäre das die 6. Teilst du Zähler und Nenner durch 6 bekommst du den gekürzten Bruch 2/3.
  
• Wie kürzt man einen Bruch vollständig?
  Um einen Bruch direkt vollständig zu kürzen, musst du den größten gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner ermitteln und teilst sie dann durch diesen. Du kannst aber auch mit kleineren gemeinsamen Teilern anfangen und kürzen, bis sie keinen gemeinsamen Teiler mehr haben.

Brüche kürzen und erweitern

Beim Kürzen von Brüchen dividierst du Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl. Im Gegensatz dazu multiplizierst du beim Erweitern beide mit der identischen Zahl.

Hier siehst du, dass mit 2 erweitert wurde. Es kommt heraus. 

Wenn du   jetzt wieder mit 2 kürzt, bist du wieder bei deinem ursprünglichen Bruch . Daher kannst du das Erweitern als Gegenteil, oder Umkehroperation, vom Kürzen bezeichnen. 

In unserem Beitrag zum Erweitern von Brüchen erfährst du, wie genau das funktioniert und wofür du es benötigst. Sieh dir das Video dazu direkt an!